Una nueva metodología para un aprendizaje eficaz del “álgebra”

eje temático: Investigación, Ciencia Y Transferencia

Autores: Mena de Pappalardo, Analía; Jacobo de Costilla, Mirta; Fernández de Musomecci, Dora; Ottonello, Sara Inés

Facultad de Ciencias Económicas – U.N.T. - Argentina
E-mail: m-pappalardo@cgcet.org.ar ; mcostilla@herrera.unt.edu.ar ; dfernandez@herrera.unt.edu.ar

Palabras Clave: Álgebra, metodología, técnicas participativas, procesos

 

I.- INTRODUCCIÓN

Clásicamente, la enseñanza de la Matemática tendía a dar al alumno un repertorio de resultados con un definido espectro de aplicación. Nadie se planteaba hace cuarenta años o más, cuestiones de reforma de la enseñanza de la Matemática y otras disciplinas.

El creciente desarrollo y complicación de la ciencia y la técnica, nos obliga a hacer una cuidadosa selección tanto de los contenidos a enseñar como de los métodos a implementar.

Los métodos y técnicas participativas aplicadas a la organización del proceso enseñanza-aprendizaje, dan respuesta a esta inquietud pues revalorizan la participación activa del estudiante.

Es por ello que seleccionamos, a manera de ejemplo, el tema Álgebra Matricial, para darle un tratamiento metodológico teniendo en cuenta los distintos métodos y técnicas participativas en la enseñanza, combinando la teoría con la práctica, y el aprendizaje individual y grupal. Esto permitirá la utilización de recursos distintos a los de la clase magistral propia de la enseñanza tradicional.

Algunas características de los métodos y técnicas participativas:

  • Permiten establecer vínculos entre los conocimientos y su aplicación práctica.
  • Estimulan el desarrollo del espíritu investigativo, la creatividad y el autoaprendizaje.
  • Ayudan a la asunción de posturas críticas, personales y comprometidas ante el conocimiento.
  • Estimulan la búsqueda de la verdad a través del trabajo conjunto de indagación y reflexión.
  • Permiten lograr conocimientos significativos.

El tema seleccionado forma parte de los contenidos de Álgebra Lineal de la asignatura “Álgebra” de la Facultad de Ciencias Económicas de la UNT.

Las matrices proveen una notación compacta para almacenar información y describir relaciones complicadas; esto se observa en las distintas tablas que se usan en Organización Contable, en las distribuciones de frecuencia que se emplean en Estadística Aplicada y en los modelos de transporte que usan matrices de costo o de valores arbitrarios en la asignatura Producción I. Una vez graduado, el profesional se encuentra con frecuencia con situaciones que requieren el uso de matrices, particularmente en las áreas técnicas.

II_ FUNDAMENTOS TEORICOS

Los métodos y técnicas participativas son procedimientos sistematizados de organización y desarrollo de la actividad del grupo de estudiantes, con el propósito de lograr el aprovechamiento óptimo de sus posibilidades cognoscitivas y afectivas.

Para el tratamiento metodológico del tema seleccionado se han tomado como sustentos psicopedagógicos, dos tendencias pedagógicas contemporáneas: el ENFOQUE COGNITIVO (cuyos representantes principales son Piaget, Ausubel y Novak), cuya base teórica está dada por las estructuras cognitivas y el aprendizaje significativo, y el ENFOQUE HISTORICO-CULTURAL, cuya tesis “ reconoce la naturaleza histórico-social del hombre, de sus cualidades y capacidades, y considera a la actividad como el elemento fundamental para el desarrollo del individuo”.

Este último enfoque considera que “el aprendizaje es transformador, que es un proceso de construcción y reconstrucción del conocimiento”, y que “la enseñanza juega un papel rector en el desarrollo psíquico, es fuente del desarrollo que precede y conduce al mismo y es desarrolladora” (Dr. Guillermo A. Pérez Pantaleón).

El rasgo esencial del aprendizaje es que engendra el Área de Desarrollo Próximo o Potencial (Z.D.P.), definida por Vigostky como “la distancia de lo que un alumno puede realizar por sí solo, con los conocimientos y habilidades que posee y lo que es capaz de alcanzar con la ayuda de otro”.

Se han tenido en cuenta, ademá, las teorías: de la Dirección, de la Actividad y de la Asimilación oformación por etapas de las acciones mentales.

III- ESTRUCTURACION DE CONTENIDOS

A fin de que este objeto de estudio sea impartido de modo que garantice la formación de habilidades y capacidades, y sea asimilado sólidamente por el alumno, el enfoque elegido para la estructuración del contenido es el Estructural Funcional, en el cual la invariante del sistema es el conjunto de los Números Reales (Â). En particular, el tema “Algebra Matricial” será presentado como un Nodo Cognitivo, para ser retomado en los temas vinculados con él.

DESARROLLO Todo el desarrollo se implementó teniendo en cuenta los objetivos del tema a tratar.

Conferencia Orientadora(Tiempo: 1 clase de 90 minutos)

Con el objeto de motivar a los alumnos se les mostrará que el análisis de muchas situaciones de la vida diaria, conduce al estudio de cuadros de datos, quienes desprovistos de sus respectivos encabezados, se transforman en arreglos rectangulares de números y reciben el nombre de Matrices.

Con material didáctico seleccionado (diarios y revistas) y mediante una conversación heurística, que es uno de métodos de la enseñanza problémica durante la cual el docente interroga y orienta, los alumnos podrán discutir, plantear sus puntos de vista y deducir las ventajas que ofrece una expresión matricial de una determinada situación, entre ellas: la posibilidad de una lectura más rápida, una mejor comprensión de la información y comparación de datos. El alumno se familiarizará en el manejo de las tablas, respondiendo a una serie de preguntas que se le irá formulando.

Una vez concluida la etapa motivadora, el profesor formalizará los conceptos surgidos durante la misma:

a) Definición de Matrizb) Igualdad de Matrices c) Simbología

Luego, a modo de unaSegunda Motivación, y teniendo en cuenta los Seminarios previstos, el profesor enunciará problemas como el siguiente:

Un supermercado vende 1500 gaseosas, 700 jugos y 1400 dulces por semana. Los precios de venta unitarios son$1,65, $0,80 y $2,5 respectivamente. A su vez, los costos unitarios son, respectivamente, $1,10, $0,50 y$1,8:

  • a) Indique los vectores de precio, demanda y costo.

b) Usando matrices, obtenga:

i)Beneficio unitarioii)Ingreso, costo y beneficio total

A partir de dichos problemas, el profesor usará la Exposición Problémica, introduciendo preguntas a través de las cuales el alumno descubrirá que el problema puede modelarse en base a matrices. Todo esto hasta llegar a la Situación Problémica, momento en que el alumno toma conciencia que no puede avanzar en la búsqueda de soluciones con los conocimientos de matrices que posee (definición e igualdad de matrices), sino que debe encontrar conceptos y métodos nuevos que le permitan operar con matrices y resolver ciertas ecuaciones matriciales, a fin de encontrar las respuestas que necesita. Entonces se concreta la contradicción, estableciendo el Problema Docente: es necesario conocer las “Operaciones con matrices” y el concepto de “Matriz Inversa”.

En este momento, el profesor podrá plantear el sumario del tema como así también el material bibliográfico a emplear.

Sumario:

a) Definición de matricesb) Igualdad de matricesc) Matrices particulares

d) Operaciones con matricese) Matrices equivalentesf) Matriz Inversa

g) Aplicaciones

ACTIVIDAD Nº 1

Seminario 1(Tiempo: 2 clases de 90 minutos cada una.): Temas a desarrollar: Matrices particulares, operaciones con matrices, matrices equivalentes.

Objetivo: Investigar matrices particulares, operaciones con matrices, propiedades y matrices equivalentes, empleando el material bibliográfico sugerido.

Métodos participativos a emplear: - Discusión Conferencia:es un método de discusión en el cual en cada subgrupo se discuten aspectos diferentes, los cuales fueron previstos en un orden lógico por el profesor.

P.N.I.: Es una técnica en la que se enumeran los aspectos Positivos, Negativos e Interesantes.

Formadetrabajo: Para la Discusión Conferencia se formarán nueve grupos de cuatro estudiantes cada uno a fin de investigar en la bibliografía indicada (o en otra que quieran consultar), los contenidos asignados a cada grupo. Luego, confeccionarán según su criterio, afiches, trasparencias u otro material de apoyo para la exposición correspondiente.

Grupos 1, 4 y 7: Matrices Particulares: Matriz: Cuadrada, Fila Columna, Transpuesta, Nula, Simétrica, Diagonal, Escalar, Identidad.

Grupos 2, 5 y 8: Operaciones con Matrices: Definición de Adición. Multiplicación de una matriz por un Escalar. Multiplicación de matrices. Propiedades.

Grupos 3, 6 y 9: Matrices equivalentes: Operacioneselementales sobre filas de una matriz. Equivalencia de matrices.

Como resultado de la investigación y estudio, esta tarea deberá contener: definiciones, simbología, ejemplos y aplicaciones directas.

Durante la exposición de cada grupo, cualquiera de sus integrantes podrá intervenir para aclarar o ampliar algún concepto. Al finalizar cada grupo la exposición, sus integrantes responderán a las preguntas que les formulen los otro equipos.

Por último, para evaluar la actividad, se realizará un P.N.I. sobre la técnica aplicada para la adquisición de estos contenidos, donde surgirán cuestiones que permitirán manejar el desarrollo de futuros seminarios. Para ello, los grupos que trabajaron con los mismos temas, se harán cargo de cada uno de los aspectos: P, N e I.

TrabajoPrácticoNº1 (Tiempo: 2 clases de 90 minutos cada una)

Objetivos:

  • Resolver operaciones entre Matrices, aplicando las definiciones correspondientes.
  • Determinar Matrices que satisfagan una relación dada, empleando la definición de igualdad.
  • Obtener Matrices Equivalentes, efectuando operaciones elementales de fila.
  • Afianzar los conocimientos del Algebra Matricial generalizando las propiedades demostradas, haciendo uso de proposiciones lógicas.

Métodosparticipativosaemplear: Trabajo individual, Discusión en pequeños grupos yDiscusión Plenaria

Formadetrabajo: Se trabajará con tarjeta de estudio, ya que se pretende controlar el nivel de independencia de los estudiantes. En una segunda etapa de la actividad, se trabajará en pequeños grupos para comparar e inferir conclusiones.

La discusión plenaria será integradora y pretende rescatar los conceptos fundamentales y los métodos utilizados en el sistema de tareas.

Ejercicios para la actividad

ACTIVIDAD Nº 2

Seminario 2 (Tiempo: 2 clases de 90 minutos cada una). Temas a desarrollar: .Matrices Elementales. Matriz Inversa: definición, métodos para su cálculo. Aplicaciones.

Objetivo: Estudiar matrices elementales, matriz inversa y sus aplicaciones, según las consignas que se indiquen.

Métodos participativos a emplear: Casos - Método de Situaciones. Los casos permiten, a través del trabajo individual y colectivo, llegar a la toma de decisiones. Este método, comprende tres momentos: Trabajo individual, Discusión en subgruposyDiscusión Plenaria.

Formadetrabajo: Los alumnos trabajarán en primer lugar, en forma individual con la bibliografía indicada. Se les presentará tarjetas, en las que se orientará el estudio y el análisis correspondiente. El problema a resolver será: Determinación de la matriz inversa.

En una segunda etapa se conformarán los mismos grupos que para el Seminario 1, a fin de realizar una discusión en subgrupos en donde cada estudiante aportará su criterio y la riqueza de su análisis, hasta llegar a un consenso.

Concluido el tiempo estipulado para esto, se pasará a la Discusión Plenaria. Para ello, se reunirán todos los alumnos y cada uno de los equipos expondrá las conclusiones a las que arribaron, usando el material de apoyo que hubieran preparado.

El profesor, que no emitirá juicios valorativos antes de que lo hagan los alumnos, hará la conclusión final, después del consenso definitivo de los grupos.

TrabajoPrácticoNº2 (Tiempo: 1 clases de 90 minutos)

Objetivos:

  • Obtener Matrices Equivalentes, efectuando operaciones elementales de fila o multiplicando por Matrices Elementales.
  • Calcular la inversa de una Matriz empleando diferentes métodos.
  • Resolver problemas integradores relacionados con su campo profesional, aplicando los conceptos correspondientes.
  • Determinar matrices que verifiquen ciertas relaciones, usando las operaciones definidas y sus propiedades.

Métodoparticipativoaemplear: Técnica de la rejilla: Esta Técnica se utiliza cuando se quiere que el grupo maneje una considerable cantidad de información en poco tiempo, que la analice, sintetice y comparta en equipo. El profesor divide el material con el que se trabajará, en tantas partes como equipos de trabajo se constituyan.

Formadetrabajo: Para el trabajo práctico Nº 2, que constará de seis ejercicios, se formarán seis equipos de seis alumnos cada uno, construyéndose la rejilla de la siguiente manera:

Equipo 1

Equipo 2

Equipo 3

Equipo 4

Equipo 5

Equipo 6

1

1

2

3

4

5

6

2

7

8

9

10

11

12

3

13

14

15

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4

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5

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6

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Al inicio del trabajo se explicará a los alumnos que esta técnica supone dos momentos distintos de trabajo en equipo.

Un primer momento, en que cada equipo abordará un ejercicio y en donde los mismos se formarán por columnas. En este caso, todos los miembros actuarán como registradores, tomando nota de los aspectos esenciales de los ejercicios. Tendrán la responsabilidad de resolver correctamente el problema planteado y entenderlo a tal punto que sean capaces de explicarlo en el nuevo equipo del que formarán parte.

Un segundo momento, en el cual se reorganizarán los equipos por filas, quedando integrados por nuevos miembros provenientes de cada uno de los equipos anteriores. Los presentes tendrán resueltos todos los ejercicios y tendrán la responsabilidad de que todos conozcan sus soluciones.

Una vez finalizada esta etapa, se constituirá el plenario y se seleccionará al azar o se designará al equipo que dará las soluciones de los ejercicios. A partir de ese momento se procederá al debate y análisis conjunto.

Para finalizar la actividad, el profesorinsistirá sobre los aspectos importantes del tema tratado y pedirá opiniones para la evaluación de la técnica empleada.

Ejercicios para la actividad

CONCLUSIONES

  • La instrumentación descripta constituye una alternativa para la presentación del tema “ALGEBRA de MATRICES”, el cual será recuperado, enriquecido y ampliado en el desarrollo de Espacios Vectoriales, Sistemas de Ecuaciones Lineales y Transformaciones Lineales.
  • La enseñanza aplicando Métodos y Técnicas participativa, permiten al docente desarrollar una labor eficiente y lograr que el estudiante sea verdaderamente el constructor de su propio conocimiento. Propicia la formación de la personalidad del alumno ante y una mejor asimilación del tema. Es una nueva forma para llevar a cabo la labor educativa con calidad, aspiraciones que muchas veces no se logran por no tener el profesor la base teórica necesaria o por no poseer la formación psicopedagógica adecuada.

BIBLIOGRAFIA

  • BUDNICK, Frank; “Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales”, MacGraw-Hill, México, 1990.
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  • GONZALEZ PACHECO, Otmara; “Aplicación del Enfoque de la Actividad al Perfeccionamiento de la Educación Superior”, CEPES, Universidad de la Habana, Cuba, 1990.
  • GONZALEZ PACHECO, Otmara; “El Enfoque Histórico-Cultural, como Fundamento de una Concepción Pedagógica”, En tendencias Pedagógicas Contemporáneas. CEPES, UH Ciudad de la Habana Cuba, 1991.
  • GROSSMAN, Stanley ; “Algebra Lineal ”, quinta edición, McGraw-Hill; México, 1997.
  • HAEUSSLER, Ernest - PAUL, Richard; “Matemáticas para Administración y Economía”, Prentice-Hall Hispanoamericana, México, 1997.
  • NOBLE, Ben - DANIEL, James; “Algebra lineal aplicada”, Prentice-Hall, México, 1989.
  • ROJO, Armando; “Algebra”, Tomo II, El Ateneo, Buenos Aires, 1995.